Un pomeriggio, da fissare con gli studenti, al Polo di Sesto, nel periodo delle lezioni di Analisi due, tenendo conto che dal primo di Novembre sarò collocato a riposo.
Nato a Firenze il 24 Marzo 1952.
1971 Maturità Classica presso il Liceo Michelangelo, Firenze.
1977 Laurea in Matematica presso l'Università di Firenze.
1977-81 Borsista C.N.R. presso l'Università di Firenze.
1981-88 Ricercatore presso l'Università di Firenze.
1988-2001 Professore Associato presso l'Università di Firenze.
2001-2004 Professore Straordinario presso l'Università di Firenze.
2004 Professore Ordinario presso l'Università di Firenze.
Direttore pro tempore del Dipartimento di Matematica Ulisse Dini, nel periodo 2008-20012 L'attività scientifica di Gabriele Villari si è rivolta prevalentemente allo studio dei seguenti temi:
A) Teoria qualitativa delle soluzioni di sistemi autonomi piani, con particolare riferimento ad esistenza, unicità e numero di cicli limite, all'esistenza di soluzioni uniformemente limitate e di soluzioni oscillatorie.
Fra i risultati ottenuti in questo settore, ed in particolare per l’equazione di Liénard
- Condizioni necessarie e sufficienti per l’intersezione con l’isoclina verticale sono state provate
Villari, G.: On the qualitative behavior of solutions of Liénard equation. J. Differential Equations 67, 269–277 (1987) and in
Villari, G., Zanolin, F.: On a dynamical system in the Liénard plane. Necessary and sufficient conditions for the intersection with the vertical isocline and applications. Funkc. Ekvac. 33, 19–38 (1990)
Tali condizioni sono cruciali per provare l’esistenza di una traiettoria che si avvolge e poter applicare quindi il teorema di Poincarè-Bendixson.
-Una generalizzazione del classico teorema di Massera, dove le ipotesi di monotonia su tutto l’asse reale sono state ristrette ad un determinato intervallo è stata provata
Villari, G.: An improvement of Massera’s theorem for the existence and uniqueness of a periodic solution for the Liénard equation. Rend. Ist. Mat. Univ. Trieste 44, 187-195 (2012) (Numero special per celebrare I sessanta anni di Fabio Zanolin)
-Una generalizzazione del classico teorema di Dragilev, dove l’ipotesi cruciale sul limite della funzione G(x) è stata migliorata è stata pubblicata
Cioni M., Villari G.: An extension of Dragilev’s theorem for the existence of periodic solutions of the Liénard equation, Nonlinear Anal. TMA 127 (2015) 55–70.
Recentemente, un teorema di unicità di cicli limite senza restrizioni sul segno di f(x), che al momento sembra essere l’unico presente in letteratura, è stato pubblicato
Villari G.and Zanolin F.: On the uniqueness of the limit cycle for the Liénard equation with f (x) not sign-definite, Appl. Math. Lett., 76 (2018), 208–214.
Infine, il caso relativistico ed il caso con curvature vengono studiati in questo period. Un primo risultato è
Mawhin J. and Villari G.: Periodic solutions of some autonomous Liénard equations with relativistic acceleration, Nonlinear Anal. 160 (2017), 16-24.
Mentre un risultato nel caso della curvature è stato presentato per la pubblicazione
Mawhin J. , Villari G., Zanolin F.: Existence and non-existence of limit cycles for Liénard prescribed curvature equations (preprint 2017)
B) Ricerca di soluzioni periodiche di equazioni differenziali ordinarie con termine forzante periodico.
Fra i risultati ottenuti in questo settore, è stato studiato il problema della ricerca di soluzioni periodiche nel caso di “one-sided growth restrictions”
Omari, P., Villari, G., Zanolin, F.: Periodic solutions of the Liénard equation with one-sided growth restrictions. J. Differential Equations 67, 278–293 (1987)
Un nuovo approccio di tipo geometrico per studiare questo tipo di problemi è stato presentato in
Villari G., Zanolin F.: A continuation theorem with Applications to periodic forced Liénard equations in presence of a separatrix, Ann. Mat. Pura. Appl. 180 (2002) 387–411.
E nel caso più generale in
Villari G., Zanolin F.: A geometric approach to periodically forced dynamical systems in presence of a separatrix, J. Differential Equations 208 (2005) 292–311
C) Studio delle proprietà asintotiche delle soluzioni di equazioni differenziali ordinarie, con particolare riferimento all'esistenza di soluzioni limitate in futuro ed all'esistenza di soluzioni oscillatorie.
Fra i risultati ottenuti in questo settore, è stato introdotto un “principio di dualità” che ha permesso di dare una classificazione completa per il comportamento al limite delle soluzioni di un’equazione lineare auto aggiunta
Cecchi M., Marini M. and Villari G.: Integral criteria for a classification of solutions of linear differential equations, J. Differential Equations 99 (1992) 381-397
Ed esteso successivamente al caso nonlineare
Cecchi M., Marini M. and Villari G.: On some classes of continuable solutions of a nonlinear differential equation, J. Differential Equations 118 (1995) 403-419
D) Studio della dinamica del moto di particelle in moto ondosi.
Fra i risultati ottenuti, nel lavoro
Constantin, A., Villari, G.: Particle trajectories in linear water waves. J. Math. Fluid Mech. 10, 1–18 (2008)
È stato proposto per la prima volta un approccio basato su un’analisi qualitativa nel piano delle fasi, che ha mostrato l’esistenza del fenomeno chiamato “Stokes drift”. Questo non era stato provato nei lavori presentii in letteratura, anche se il fenomeno dello “Stokes drift” era noto ai ricercatori di questo settore. Un approccio simile è stato adottato per studiare il problema in presenza di vortici, e si trova in
Ehrnström M., Villari G: Linear water waves with vorticity: rotational features and particle paths, J. Differential Equations, 244 (2008), pp. 1888–1909.
Tale attività si è concretizzata nella pubblicazione di 54 lavori di cui 47 su riviste internazionali e 7 su Proceedings di congressi internazionali. Fino ad ora i lavori hanno ricevuto 589 citazioni (Scopus), mentre Research Gate riporta 808 citazioni. e Google Scholar 902.
Gabriele Villari ha trascorso gli anni accademici 1982-3 e 1987-88 negli USA, come visiting professor presso l’Università dell’Illinois at Urbana-Champaign.
Ha presentato i suoi risultati, come invited speaker, in Europa (Austria, Belgio, Repubblica Ceca, Francia, Germania, Grecia, Ungheria, Irlanda, Norvegia, Polonia, Portogallo, Romania, Russia, Svezia e Svizzera), Cina ( Beijing, Shanghai, Kunming, Xian, Datong ), Giappone (Osaka, Matsue), USA (Ann Harbor, Carbondale, Claremont, College Park, Urbana-Champaign).
Gabriele Villari è nell’Editorial Board dell’Electronic Journal of Qualitative Differential Equations (EJQTDE), e collabora come referee in diverse riviste nel settore delle equazioni differenziali ordinarie.
Legenda
Born in Florence, on 24/ 03/1952.
1977: Degree in Mathematics with Honors, University of Florence 1977-81: C.N.R. Fellowship, University of Florence
1981-88: Assistant Professor in Mathematics, University of Florence.
1988-2001: Associate Professor in Mathematics, University of Florence
2001: Full professor in Mathematics, University of Florence.
He was Chair of the Department of Mathematics "Ulisse Dini" in the period 2008-2012.
The main research topics are:
Qualitative theory of planar autonomous systems.
In particular, the problem of existence, uniqueness and maximum number of limit cycles is investigated, as well as the study of solutions bounded in the future and oscillatory solutions. Among the obtained results in this area, and in particular for the Liénard equation,
- Necessary and sufficient conditions for the intersection with the vertical isocline were proved in
Villari, G.: On the qualitative behaviour of solutions of Liénard equation. J. Differential Equations 67, 269–277 (1987) and in
Such condition are crucial in order to prove the existence of a winding trajectory and apply the Poincaré-Bendixson theorem.
- A generalization of the classical uniqueness theorem of Massera was presented, in which the monotonicity assumptions on the real line were restricted to a fixed interval.
Villari, G.: An improvement of Massera’s theorem for the existence and uniqueness of a periodic solution for the Liénard equation. Rend. Ist. Mat. Univ. Trieste 44, 187-195 (2012)
- A generalization of the classical Dragilev theorem was presented, in which the crucial assumption on the limit of the G(x) function was relaxed.
- Very recently, an uniqueness limit cycle result with no sign restriction on f(x), which seems at the moment the only one in this direction, was presented in
- Finally, the relativistic case, as well as the case with curvature are at present studied. A first result was published in
A result for the case with curvature was submitted for publication
Study of periodic solutions for ordinary differential equation with forcing term
Among the obtained results in this area,
-The problem of existence of periodic solutions with one-sided growth restrictions was investigated in
- A new geometrical approach for attacking this kind of problems appeared in
and, for the more general case of a second order autonomous differential equation periodically forced, in
Study of asymptotic properties of ordinary differential equations, investigating the problem of existence of solutions bounded in future and oscillatory solutions.
Among the obtained results in this area, a “duality principle” was introduced and used in order to give a complete classification for the limit properties of the solutions of a self-adjoint linear differential equation, which appeared in
and extended to the nonlinear case in
Study of the motion of particle trajectories in water waves
Among the obtained results in this area, in the paper
an approach based on phase-plane analysis was for the first time in this field area presented, and showed the existence of the so called “Stokes drift”. This was not proved in the models present in the literature, even if the existence of the Stokes drift was well known. The same approach was used for attacking the problem in presence of vorticity and appeared in
His research activity produced 54 papers, 47 published on International Journals and 7 on Proceedings of an International Congress. Up to now his papers were quoted 589 times (Scopus), or 808 times (Research Gate) or 902 times (Google Scholar)
The h-index is 15 (Scopus, Google Scholar)
He spent the Academic years 1982-3 and 1987-88 in the USA, at the University of Illinois at Urbana-Champaign.
He was lecturing, as invited speaker in Europe (Austria, Belgium, Czech Republic, France, Germany, Greece, Hungary, Ireland, Norway, Poland, Portugal, Romania, Russia, Sweden and Switzerland), China (Beijing, Shanghai, Kunming, Xian, Datong), Japan (Osaka, Matsue), USA (Ann Harbor, Carbondale, Claremont, College Park, Urbana-Champaign).
He was invited as participant in programs on “Wave Motion “at Mittag-Leffler Institute (Stockholm), at Banach Center (Warsaw), at MFO (Oberwolfach Research Institute for Mathematics) and more recently at at theResearch Centre Erwin Schrödinger International Institute for Mathematics and Physics (ESI) for aprogram on “Mathematical Aspects of Physical Oceanography”.
Gabriele Villari is in the Editorial Board of the Electronic Journal of Qualitative Differential Equations (EJQTDE), and acts as a referee for several journals in the sector of ordinary differential equations.
