su appuntamento
Titoli di studio:
2007 Ha conseguito il titolo di Dottore di Ricerca in Ingegneria Informatica e dell’Automazione presso l’Università degli Studi di Firenze (Coordinatore Prof. E. Mosca). Tesi: “Some properties of pattern avoiding permutations” (Relatore: Prof. R. Pinzani).
2003 Si è laureato in Matematica (indirizzo applicativo, orientamento numerico-informatico) presso la Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali dell’Università degli Studi di Firenze il 19 Settembre 2003, con la votazione di 110/110 e lode (tesi: “Enumerazione di permutazioni che evitano tre motivi” – relatore: prof. Renzo Pinzani).
2001 Ha conseguito il Diploma Universitario di Matematica presso l’Università degli Studi di Firenze con la votazione di 110/110 con lode (tesi: “Un approccio scientifico per la valutazione della consonanza nelle scale musicali” - relatore Dott. Federico Talamucci).
1997 Ha conseguito il Diploma di Musica Corale e Direzione di Coro presso il Conservatorio di Musica Luigi Cherubini di Firenze con la votazione di 9.50/10.
1996 Ha conseguito il Diploma di Composizione presso il Conservatorio di Musica Luigi Cherubini di Firenze con la votazione di 9/10.
Attività di ricerca
Antonio Bernini lavora con il gruppo di Matematica Discreta e Informatica Teorica sotto il coordinamento del Prof. Renzo Pinzani presso il Dipartimento di Sistemi e Informatica di Firenze.
Uno dei temi di ricerca in cui sono stati ottenuti risultati interessanti riguarda le permutazioni a motivo escluso, con particolare riguardo a quelle che evitano i motivi generalizzati. Questi ultimi sono stati introdotti da Babson e Steingrìmsson [BS] i quali se ne sono serviti per lo studio delle statistiche Mahoniane delle permutazioni. Utilizzando il metodo ECO [BDPP1] e una particolare rappresentazione grafica delle permutazioni, tutte le congetture formulate da Claesson e Mansour [CM] riguardo all’enumerazione di permutazioni che evitano tre motivi di Babson-Steingrìmsson (che sono motivi generalizzati di lunghezza tre) sono state risolte, in senso positivo. L’approccio usato ha inoltre fornito delle eleganti e semplici applicazioni del metodo ECO. I risultati sono contenuti in [BFP2]. Successivamente sono state risolte anche le congetture sulle permutazioni che evitano più di tre motivi [BP] (in particolare quattro e cinque): con l’ausilio di alcune proposizioni sulle permutazioni a motivo generalizzato escluso è stato possibile trattare la maggior parte dei casi che il problema presenta in modo semplice ed esauriente, sfruttando i risultati ottenuti in [BFP]. Un interessante risultato trasversale è stato evidenziato durante tale studio: è stata fornita la distribuzione delle permutazioni che evitano il motivo 1-23 secondo la loro lunghezza e il valore del loro ultimo elemento. Tale risultato è stato poi generalizzato alle permutazioni che evitano un qualunque motivo di lunghezza tre (sempre generalizzato) ed inoltre esteso a qualche caso di permutazioni con due motivi generalizzati esclusi. I risultati di quest'ultima indagine sono raccolti in [BBF].
La strategia utilizzata in [BFP2] (e in [BP]) per l'enumerazione delle permutazioni a motivo generalizzato escluso può essere utilizzata anche per le parole. In particolare, è possibile fornire una procedura generale per la generazione di parole che evitano motivi generalizzati che spesso è possibile descrivere tramite una regola di successione. Da essa, in diversi casi, si può ricavare una formula chiusa per l'enumerazione delle parole oppure la funzione generatrice della classe di parole secondo la loro lunghezza. In [BFP1] sono contenuti risultati relativi all'enumerazione di parole che evitano due motivi generalizzati di lunghezza tre.
Sempre nell'area di ricerca sulle permutazioni, sono stati considerati anche motivi non generalizzati (classici). In particolare sono state introdotte delle classi di permutazioni a motivo escluso le cui sequenze di enumerazione sono comprese fra i numeri di Fibonacci e quelli di Catalano, fornendo per ogni classe la funzione generatrice associata secondo la lunghezza delle permutazioni. Ciò è stato possibile passando dalla classe S (123, 213, 312) a S (123) trattando opportunamente i motivi 213 e 312 come casi particolari di motivi di lunghezza crescente. I risultati, che sono contenuti in [BBP] e che proseguono un tema di ricerca già iniziato [BDPP2, BDPP3] in cui è introdotto il concetto di continuità discreta fra sequenze di numeri, mostrano come sia possibile collegare con continuità le due famose sequenze di numeri di Fibonacci e Catalano.
Un altro campo d’interesse è lo studio delle proprietà d’ordine di vari classi di oggetti combinatori (cammini, permutazioni, partizioni, parole). Un primo risultato interessante [BBFP] in tale direzione ha riguardato il caso particolare dei cammini di Dyck in relazione con le partizioni noncrossing e le permutazioni che evitano il motivo 312. Trasportando l’ordine naturale definito sui cammini di Dyck sulle partizioni noncrossing, è possibile definire su di esse una struttura di reticolo distributivo e dimostrare che le permutazioni che evitano il motivo 312 (in biezione con le partizioni e i cammini Dyck) costituiscono un sottoreticolo distributivo dell’insieme parzialmente ordinato di tutte le permutazioni dotate dell’ordine forte di Bruhat. Un’indagine simile è stata condotta a partire dai cammini di Motzkin e di Schröder [BF], trovando una struttura di reticolo distributivo su un sottoinsieme delle partizioni noncrossing e su certe classi di permutazioni a motivo escluso (in particolare quelle che evitano il motivo k - ( k - 1)( k - 2)...21, dotate dell’ordine forte di Bruhat).
Sull'insieme di permutazioni è possibile introdurre un ordinamento parziale dicendo che una permutazione è minore o uguale di un'altra se la prima è contenuta nella seconda come motivo. Un interessante questione è investigare sulla funzione di Möbius dell'insieme parzialmente ordinato che ne deriva. Parziali risultati sono stati ottenuti recentemente, considerando permutazioni particolari [BJJS, SV] ma anche in generale [ST]. La struttura del poset risulta abbastanza complicata. E' stata allora considerata una relazione d'ordine ristretta al caso dei motivi consecutivi (una permutazione è minore di un'altra se la prima contiene la seconda come motivo consecutivo) e ciò ha permesso di analizzare in maniera più esauriente il poset che ne deriva (in cui ogni permutazione può coprire al massimo due permutazioni). In particolare, è stata fornita una procedura per il calcolo della funzione di Möbius di qualunque intervallo in questo poset. I risultati sono apparsi in [BFS].
Altri risultati sono stati ottenuti nell’ambito della generazione esaustiva di oggetti combinatori, mostrando che si possono generare tutti i cammini di Dyck di una certa lunghezza per mezzo di un algoritmo di generazione in un tempo ammortizzato costante (algoritmo CAT) [BFG]. L’algoritmo può essere generalizzato ai cammini di Grand Dyck e di Motzkin. Sempre nello stesso ambito di studio, inoltre, partendo da una regola di successione per i numeri di Catalano, è possibile definire una procedura per generare e listare gli oggetti enumerati da tale sequenza. Questa procedura è tale che due successive codifiche della lista differiscono solo per una cifra, in modo da ottenere un codice Gray [BGPP]. Tale approccio può essere esteso ad una famiglia più grande di regole di successione che soddisfano una certa proprietà che è stata chiamata proprietà di stabilità. Durante questo studio è stata trovata una presumibilmente nuova costruzione ECO per le permutazioni, codificata da una regola di successione trascendente.
Ha partecipato al progetto di ricerca scientifica “Automi e linguaggi formali: aspetti matematici e applicativi” finanziato dal Ministero dell’Istruzione, dell’Università e della Ricerca e coordinato dal Prof. Antonio Restivo (PRIN 2005).
Ha partecipato al progetto di ricerca scientifica “Aspetti matematici e applicazioni emergenti degli automi e dei linguaggi formali”, finanziato dal Ministero dell’Istruzione, dell’Università e della Ricerca e coordinato dal Prof. Antonio Restivo(PRIN 2007).
E’ stato invitato dal prof. Manuel Castellet, direttore del Centre de Recerca Mtemàtica (http://www.crm.es), per un periodo di due mesi (Maggio e Giugno 2007) nell’ambito del progetto “Research Programme on Enumerative Combinatorics and Random Structures” coordinato dal Prof. Marc Noy e dal Prof. Dominic Welsh.
Data anche la sua preparazione musicale, ha approfondito da un punto di vista scientifico lo studio della consonanza-dissonanza degli accordi al variare della scala musicale [BT].
È stato membro del comitato organizzatore dei convegni internazionali “Permutation Patterns 2009” (Firenze, 13-17 luglio 2009) e “Lattice Path Combinatorics and Applications” (Siena, 4-7 luglio 2010).
Partecipazione a congressi
Ha partecipato con i lavori “An exhaustive generation algorithm for Catalan objects and others” (autori: A. Bernini, I.Fanti, E.Grazzini) e “Some statistics on permutations avoiding generalized patterns” (autori: A. Bernini, M. Bouvel, L. Ferrari) al convegno “Gascom”, Dijon (Francia), 11 – 15 Settembre 2006.
Ha partecipato con il lavoro dal titolo “Some order-theoretic properties of the Motzkin and Schröder families” (autori: A. Bernini, L. Ferrari) al convegno “Permutation Patterns 2006”, Reykjavik (Islanda), 12 – 16 Giugno 2006.
Ha partecipato con il poster “A distributive lattice structure on noncrossing partitions” (autori: E. Barcucci, A.Bernini, L. Ferrari, M. Poneti) a “FPSAC - Formal Power Series and Algebraic Combinatorics 2005” , Taormina, 20 – 25 Giugno 2005.
Ha partecipato all’ “XI incontro Italiano di Combinatoria”, Maratea, 26 – 30 Settembre 2004.
Ha partecipato con il lavoro dal titolo “Enumerating permutations avoiding three Babson-Steingrìmsson patterns” al convegno “Paths, Permutations and Trees, 2004” (Nankai University di Tianjin (Cina), 25 - 27 Febbraio 2004) e al convegno “Algebra e Informatica Teorica, III” (Università di Siena, 6 - 7 Luglio 2004).
Bibliografia di riferimento
[BS] E. Babson, E. Steingrìmsson; Generalized permutation patterns and a classification of the Mahonian statistics, Sém. Lothar. Combin., 44 (2000), Art. B44b, 18 pp. (electronic).
[BBP] E. Barcucci, A. Bernini, M. Poneti; From Fibonacci to Catalan permutations, Pure Math. Appl., 17 (2006) 1-17.
[BBFP] E. Barcucci, A. Bernini, L. Ferrari, M. Poneti; A distributive lattice structure connecting Dyck paths, noncrossing partitions and 312 - avoiding permutations, Order, 22 (2005) 311-328.
[BDPP1] E. Barcucci, A. Del Lungo, E. Pergola, R. Pinzani; ECO: A methodology for the Enumeration of Combinatorial Objects, J. Difference Equ. Appl., 5 (1999) 435-490.
[BDPP2] E. Barcucci, A. Del Lungo, E. Pergola, R. Pinzani; From Motzkin to Catalan permutations, Discrete Math., 217 (2005) 33-49.
[BDDP3] E. Barcucci, A. Del Lungo, E. Pergola, R. Pinzani; Permutations avoiding an increasing number of length-increasing forbidden subsequences, Discrete Math. Theor. Comput. Sci., 4 (2000) 31-44.
[BBF] A. Bernini, M. Bouvel, L. Ferrari; Some statistics on permutations avoiding generalized patterns, Pure Math. Appl., 18 (2008) 223-237.
[BFG] A. Bernini, I. Fanti, E. Grazzini; An exhaustive generation algorithm for Catalan objects and others, Pure Math. Appl., 17 (2006) 39-53.
[BF] A. Bernini, L. Ferrari; Order properties of the Motzkin and Schröder families, Australas. J. Combin., 39 (2007) 259-272.
[BFP1] A. Bernini, L. Ferrari, R. Pinzani; Enumeration of some classes of words avoiding two generalized patterns of length three, J. Autom. Lang. Comb., 14 (2009) 129-147.
[BFP2] A. Bernini, L. Ferrari, R. Pinzani; Enumerating permutations avoiding three Babson-Steingrìmsson patterns, Ann. Comb., 9 (2005) 137-162.
[BFS] A. Bernini, L. Ferrari, E. Steingrìmsson; The Möbius function of the consecutive pattern poset, Electron. J. Combin., 18(1) (2011) #P146 (12 pp).
[BGPP] A. Bernini, E. Grazzini, E. Pergola, R. Pinzani; A general exhaustive algorithm for Gray structures, Acta Inform., 44 (2007) 361-376.
[BP] A. Bernini, E. Pergola; Enumerating permutations avoiding more than three Babson-Steingrìmsson patterns, J. Integer Seq. 10 (2007) article 07.6.4.
[BT] A. Bernini, F. Talamucci; Consonance of complex tones with different harmonics intensity, Quaderno del Dipartimento di Matematica “Ulisse Dini” dell’ Università degli Studi di Firenze, 2002/15.
[BJJS] A. Burstein, V. Jelínek, E. Jelínková, E. Steingrímsson: The Möbius function of separable and decomposable permutations, J.Combin. Theory Ser. A, 118 (2011) 2346-2364.
[CM] A. Claesson, T. Mansour; Enumerating permutations avoiding a pair of Babson-Steingrìmsson patterns, Ars Combin. 77 (2005) 17-31.
[SV] B. E. Sagan, V. Vatter: The Möbius function of a composition poset, J. Algebraic Combin., 24 (2006) 117–136.
Legenda
Antonio Bernini received his PhD in "Computer Engineering and Automation" at the University of Florence (Coordinator Prof. Mosca) whit a thesis entitled “Some properties of pattern avoiding permutations” (Advisor: Prof. R. Pinzani).
He recieved his Master degree in Mathematics on September 19th, 2003 at the University of Florence with full marks (cum laude) with a thesis entitled "Enumerations of permutations avoiding three patterns" (Advisor: Prof. Pinzani).
He received his university degree in Mathematics in 2001 at the University of Florence with full marks (cum laude) with a thesis entitled "A scientific approach for the evaluation of consonance in the musical scales" (Advisor: Prof. Talamucci).
In 1997 he received his academic degree in "Choral Music and Choir Conducting" at the Conservatory of Music "L. Cherubini" of Florence.
In 1996 he received his academic degree in "Composing" at the Conservatory of Music "L.Cherubini" of Florence.
Research
Antonio Bernini works within the group of Discrete Mathematics and theoretical Computer Science under the supervision of Prof. R. Pinzani at the System and Computer Science Department of the University of Florence.
One of the topics where some interesting results have been found is pattern avoiding permutations, more specifically generalized pattern avoiding permutations. Generalized patterns have been introduced by Babson e Steingrìmsson [BS] for the study of the mahonian statistics of permutations. Using ECO method [BDPP1] and a particular graphic representation of permutations all the conjectures by Claesson and Mansour [CM] on the enumeration of permutations avoiding three Babson-Steingrìmsson patterns (generalized patterns of length three) have been solved, in positive sense. The used approach has provided some simple and nice applications of ECO method. The results are in [BFP2]. Afterwords, also the conjectures on the cases of more than three generalized forbidden patterns have been solved [BP]: using some propositions on generalized pattern voiding permutations the most cases of the general problem have been treated, also with the help of the results of [BFP]. An interesting result has been pointed out during this study: considering permutation avoiding the pattern 1-23 we have provided their distribution according to the length and the value of the last element. This result has been generalized to the permutations which avoid any generalized pattern of length three and to some cases of permutations avoiding two generalized patterns. The results of this investigation are in [BBF].
The approach used in [BFP2] (and in [BP]) for the enumeration of generalized pattern avoiding permutations can be useful also for words. More specifically, it is possible to give a general procedure for the generation of words avoiding generalized patterns and often it is possible to describe it by a succession rule. Ten, in several cases, we are able to provide a closed formula formula enumerating the considered words or the generating function of the class of words according to their length. In [BFP1] some results on the enumeration of words avoiding two generalized patterns of length three are found.
In the same research area of permutations, also classical patterns have been considered. In particular, some classes of permutations have been introduced such that their enumerating sequences are limited by the Fibonacci and Catalan sequence. This result can be reached by considering the classes S(123, 213, 312) where the patterns 213 and 312 are seen as particular cases of increasing length patterns, so that the final class to be considered is S (123) (enumerated by the Catalano numbers). These results are in [BBP] and continue a research line already existing [BDPP2, BDPP3] where the idea of discrete continuity between number sequences appeared.
A different topic is the study of order properties of classes of combinatorial objects (permutations, paths, partitions, words). A first interesting result [BBFP] in this direction connects Dyck paths, 312 avoiding permutations and noncrossing partitions. Transferring the natural order relation of Dyck paths on noncrossing partition, we define a distributive structure poset on them and we prove that the 312 avoiding permutations (in bijection with Dyck paths) form a distributive subposet of the general poset of all the permutations with the strong Bruhat order. A similar study has been conducted moving from the Motzkin and Schröder paths [BF]: it is possible to define a distributive structure poset on a subset of noncrossing partitions and on certain classes of pattern avoiding permutations (k - ( k - 1)( k - 2)...21-avoiding permutations with the strong Bruhat order).
A partial order relation is defined on permutations: a permutation is less than a second permutation if the first one is contained in the second one as a pattern. An interesting question is the study of the Möbius function of the resulting poset. Partial results have been achieved [BJJS,SV,ST]. In general, the poset is quite complicated to analyze. So, we have considered the consecutive pattern poset, where the partial order relation requires that a permutation is less than a second permutation if the first one is contained in the second one as consecutive pattern. This restriction leads to a more simple poset (each permutation covers at most two other permutations) and a procedure for the computation of the Möbius function of any interval in this poset has been provided. The results are in [BFS].
Other results have been obtained in the area of exhaustive generation of combinatorial objects, showing that all the Dyck paths of a fixed length can be generated by a CAT algorithm [BFG]. The algorithm can be generalized to Grand Dyck and Motzkin paths. In the same research area, we have defined a procedure to list the objects enumerated by the catalan numbers, starting from a particular succession rule. This procedure generates a list where two consecutive codes differ only for a digit, so that a Gray code is obtained. This methodology can be generalized to a more general group of succession rules having a particular property which we have defined stability property.
He has been member of the national research project "Automi e linguaggi formali: aspetti matematici e applicativi" (PRIN 2005).
He has been member of the national research project "Aspetti matematici e applicazioni emergenti degli automi e dei linguaggi formali" (PRIN 2007).
He has been invited by Prof. Manuel Castellet, director of the Centre de Recerca Mtemàtica for two months (May and June 2007) in the "Research Programme on Enumerative Combinatorics and Random Structures" coordinated by Prof. Marc Noy and Prof. Dominic Welsh.
He has been member of the organizing committee of the international conference "Permutation Patterns 2009" (Firenze, July 13-17, 2009) and "Lattice Path Combinatorics and Applications" (Siena, July 4-7, 2010).
He has been referee for the journals "Discrete Mathematics", "Ars Combinatoria", and "Pure Mathematics and Applications".
He is a reviewer of "Mathematical Reviews".
Conferences
"Gascom", Dijon, September 11-15, 2006 with "An exhaustive generation algorithm for Catalan objects and others" (A. Bernini, I.Fanti, E.Grazzini) and "Some statistics on permutations avoiding generalized patterns" (A. Bernini, M. Bouvel, L. Ferrari).
"Permutation Patterns 2006", Reykjavik, June 12-16, 2006 with "Some order-theoretic properties of the Motzkin and Schröder families" (Bernini, L. Ferrari).
"Formal Power Series and Algebraic Combinatorics 2005" , Taormina, June 20-25, 2005 with "A distributive lattice structure on noncrossing partitions" (E. Barcucci, A.Bernini, L. Ferrari, M. Poneti, poster).
"XI incontro Italiano di Combinatoria", Maratea, September 26-30, 2004.
"Paths, Permutations and Trees", Nankai University, Tianjin, February 25 - 27, 2004 and "III incontro di Algebra e Informatica Teorica", Università di Siena, July 6-7, 2004 with "Enumerating permutations avoiding three Babson-Steingrìmsson patterns".
References
[BDPP3] E. Barcucci, A. Del Lungo, E. Pergola, R. Pinzani; Permutations avoiding an increasing number of length-increasing forbidden subsequences, Discrete Math. Theor. Comput. Sci., 4 (2000) 31-44.
